Trojúhelník v Gaussově rovině

Abstrakt

Článek dává do souvislosti vztah mezi planimetrií, analytickou geometrií, algebrou a komplexními čísly. V první úloze řeší rovnici v komplexních číslech čtyřmi různými způsoby, obrazy kořenů rovnice tvoří v Gaussově rovině rovnostranný trojúhelník. Další dvě úlohy řeší obsah trojúhelníku v Gaussově rovině. Dále je uveden důkaz věty o obsahu výše uvedených typů trojúhelníků: , kde a, b c jsou body v Gaussově rovině. Čtvrtá úloha hledá průsečík výšek trojúhelníku. Poté je odvozena a dokázána platnost Feuerbachovy kružnice, která prochází devíti body (středy stran trojúhelníku, patami výšek trojúhelníku a středy úseček spojujících průsečík výšek s vrcholy trojúhelníku). Na závěr je ukázán vztah mezi středem kružnice trojúhelníku opsané, středem Feuerbachovy kružnice, těžištěm a průsečíkem výšek.